Arithmetical problems in number fields, abelian varieties and modular forms

La teoria de nombres, una àrea de la matemàtica fascinant i de les més antigues, ha experimentat un progrés espectacular durant els darrers anys. El desenvolupament d'una base teòrica profunda i la implementació d'algoritmes han conduït a noves interrelacions matemàtiques interessants que han fet palesos teoremes importants en aquesta àrea. Aquest informe resumeix les contribucions a la teoria de nombres dutes a terme per les persones del Seminari de Teoria de Nombres (UB-UAB-UPC) de Barcelona. Els seus resultats són citats en connexió amb l'estat actual d'alguns problemes aritmètics, de manera que aquesta monografia cerca proporcionar al públic lector una ullada sobre algunes línies específiques de la recerca matemàtica actual.Number theory, a fascinating area in mathematics and one of the oldest, has experienced spectacular progress in recent years. The development of a deep theoretical background and the implementation of algorithms have led to new and interesting interrelations with mathematics in general which have paved the way for the emergence of major theorems in the area. This report summarizes the contribution to number theory made by the members of the Seminari de Teoria de Nombres (UB-UAB-UPC) in Barcelona. These results are presented in connection with the state of certain arithmetical problems, and so this monograph seeks to provide readers with a glimpse of some specific lines of current mathematical research

The Riemann hypothesis: The great pending mathematical challenge

The Riemann hypothesis is an unproven statement referring to the zeros of the Riemann zeta function. Bernhard Riemann calculated the first six non-trivial zeros of the function and observed that they were all on the same straight line. In a report published in 1859, Riemann stated that this might very well be a general fact. The Riemann hypothesis claims that all non-trivial zeros of the zeta function are on the the line x = 1/2. The more than ten billion zeroes calculated to date, all of them lying on the critical line, coincide with Riemann's suspicion, but no one has yet been able to prove that the zeta function does not have non-trivial zeroes outside of this line

Uniformization of triangle modular curves

In the present article, we determine explicit uniformizations of modular curves attached to triangle Fuchsian groups with cusps. Their Hauptmoduln are obtained by integration of non-linear differential equations of the third order. Series expansions involving integral coefficients are calculated around the cusps as well as around the elliptic points. The method is an updated form of a differential construction of the elliptic modular function $j$, first performed by Dedekind in 1877. Subtle differences between automorphic functions with respect to conjugate Fuchsian groups become apparent

Les Contribucions de Poincaré a l'aritmètica

Les recerques de Poincaré sobre grups fuchsians, funcions automorfes, etc., estan lligades a les de l'escola alemanya del seu temps. La influència d'aquests temes en teoria de nombres ha estat creixent en el decurs dels anys. Capítols sencers de la matemàtica del segle xix i de principis del segle xx han trobat una continuació natural en l'estudi actual de models aritmètics, de manera que la comprensió d'aquests esdevé difícil si es pretén portar a terme al marge dels clàssics. El mateix Poincaré considerava que la seva aportació a l'aritmètica es reduïa a la teoria de formes, però, tal com veurem, molts altres treballs seus exerceixen encara avui una influència notable en l'estudi de problemes dionfantins.Poincaré’s research on fuchsian groups, automorphic functions, etc. is related to that of the German school of his time. The influence of these topics on number theory has increased over the years. Entire chapters of the mathematics of the XIXth century and of the beginnings of the XXth century have found a natural continuation in the present study of arithmetic models, in a way that makes these difficult to understand without taking the classics into account. Poincaré himself considered his contribution to arithmetics as reduced to the theory of forms, but, as we shall see, many others of his works have an important influence on the study of diophantine problems still today

El teorema de Fermat

Sus orígenes. El problema núunero 8 del Libro II de la Aritmética de Diofanto tiene el siguiente enunciado: 'Descomponer un cuadrado dado en dos cuadrados'. Si la respuesta a un problema no era única, Diofanto se limitaba a dar soluciones particulares, que obtenia gracias a una feliz elección de los datos. Veamos por ejemplo, cómo procede en el caso anterior. De entrada, se plantea resolver la ecuación..

Formas cuadráticas sobre cuerpos totalmente p-ádicos

Dado un cuerpo de números K y un conjunto finito P de primos de K , se clasifican las formas cuadráticas sobre el cuerpo totalmente P-ádico Kp . El anillo de Witt W(Kp) resulta ser no finito . Su grupo aditivo es estudiado por medio del invariante de Clifford

Les contribucions de Poincaré a l'aritmètica

Les recerques de Poincaré sobre grups fuchsians, funcions automorfes, etc., estan lligades a les de l'escola alemanya del seu temps. La influència d'aquests temes en teoria de nombres ha estat creixent en el decurs dels anys. Capítols sencers de la matemàtica del segle xix i de principis del segle xx han trobat una continuació natural en l'estudi actual de models aritmètics, de manera que la comprensió d'aquests esdevé difícil si es pretén portar a terme al marge dels clàssics. El mateix Poincaré considerava que la seva aportació a l'aritmètica es reduïa a la teoria de formes, però, tal com veurem, molts altres treballs seus exerceixen encara avui una influència notable en l'estudi de problemes dionfantins

Extensiones maximales de un cuerpo global en las que un divisor primo descompone completamente

[spa] Dado un cuerpo global K y un conjunto finito P(1)• • • P(r) de primos de K, representamos por K(P(1)• • • P(r)) la extensión maximal de K contenida en una clausura separable K(_) de K, en la que todos los primos descomponen completamente. Esta memoria tiene por objeto el estudio de tales extensiones